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2016. 8. 6. 연구노트

2016.08.13 18:19

이영무 조회 수:336 추천:1

2016년 8월 6일 연구노트

 

1. Determinant

   - det(AB) = det(A) * det(B)

   - det(AT) = det(A)

   - det(A) = 0  이면 is not invertable

 

2-1. Eigenvector / Eigenvalue

   Ax  (in Rn) 를 f(x) 라고 했을 때 f(x) = λx 가 성립하면 이때 λ가 eigenvalue, x가 eigenvector

   

   geometric interpretation : A라는 변환을 해도 방향이 변하지 않는 벡터가 eigenvector

   

   example : Markov Property에서 n번째의 확률을 구할 때

                CA* C이라고 하면 Anx = λnx 라는 eigenvalue의 성질을 이용해 행렬곱을 이용하지 않고

                스칼라곱만 이용해서 쉽게 n번째의 확률을 구할 수 있음.

 

   A가 linearly independent eigenvectors를 갖는다면 S-1AS Λ 형태로 나타낼 수 있음.

   (이때 Λ는 eigenvalue들이 diagonal matrix형태로 있는 행렬, 이때 Λ를 구하는 과정을 diagonalization이라고 함)

 

   A= nS-1가 성립함.

 

2-2. Symmetric Matrices

   Ax = λ이고 A = A일때 

   1) A has only real eigenvalues

   2) eigenvectors can be chosen orthonormal

 

    Positive Definite Matrices : 모든 eigenvalue가 양수인 Symmetric Matrices

 

   Singular Value Decomposition(SVD) : Eigenvalue는 n*n 행렬(정방행렬)에서만 구할 수 있기 때문에

   일반적인 m*n 행렬에서 eigenvalue와 비슷하게 diagonalize하기 위한 방법.

   

   A = UΣVT (UAAT의 eigenvector, ATA의 eigenvector, Σ  Λ와 비슷하게 singular value로 이루어진 대각행렬)